Fraktály (aka. Teória chaosu v obrázkoch)

31.1.2007 o 9:12 | Karma článku: 13.11 | Prečítané  8740-krát

Moderný človek sa pozrie na fraktál a povie si „Aký pekný obrázok.“ Moderný vedec sa pozrie na fraktál a povie si „Aké pekné grafické vyjadrenie matematického vzťahu.“ Málo kto vie, že keď sa na fraktál pozrel vedec na začiatku storočia, zhrozene utekal kade ľahšie.

Fraktály sa na začiatku storočia nazývali matematické monštrá. Nezapadali totiž do vtedajšej matematickej teórie a tak boli urputne ignorované.

Takže ako to fungovalo? Mladý sľubný vedec dostal za úlohu zmerať dĺžku pobrežia Anglicka. Vtedajšia geometria bola prudko založená na eukildovskej a tak spravil to isté čo by spravil aj pán Euklidus. Zobral pravítko a začal prikladať na mapu. Keď spočítal počet priložení a vynásobil dĺžkou pravítka, dostal výsledok. Chvíľu bol spokojný, ale potom si uvedomil že pri každom priložení zanedbal malé výbežky pevniny do mora alebo mora do pevniny. Zobral teda menšie pravítko a zmeral znovu. Na úseku ktorý predtým nameral jedným 10 cm pravítkom mu však zrazu vychádzalo 12 cm s menším pravítkom. Čím viac zmenšoval pravítko, tým väčší výsledok dostával, až prišiel k prirodzenému záveru že keď použije nekonečne malé pravítko, pobrežie Anglicka bude nekonečne dlhé. Takže na otázku „Aké dlhé je pobrežie Anglicka?“ sa všeobecne odpovedalo „Hmmm. Fain, fain. A vaša dcéra sa má ako?“ Až neskôr sa prišlo na to že pobrežie Anglicka (a ktoréhokoľvek iného štátu) je fraktál.

Objekty v Eukidovskej geometrii (áno, je to tá čo sa učí na školách) majú celočíselné dimenzie (rozmery), zväčša 1,2 a 3. Fraktály majú neceločíselné dimenzie (pobrežie Anglicka má dimenziu cca. 1.24) a preto sa nedajú merať bežnými prostriedkami ako sú pravítko a kružidlo. Toto je však definícia ktorá laikovi moc nehovorí (nie, nie je to o príšerách z iných dimenzií) a začne sa zamýšľať, či bol dobrý nápad začať čítať tento článok. Veď načo sú nám už len nejaké fraktály. Odpoveď : fraktálom sa nevyhneme, pretože sú všade okolo nás.

Svet okolo nás sa riadi princípmi teórie chaosu. Každý dej v prírode je ovplyvňovaný obrovským množstvom iných dejov a sám ich pritom ovplyvňuje. Systém takýchto dejov sa nazýva dynamický systém. Aj najmenšia, nepatrná akcia môže mať obrovský dopad na ďalší stav celého systému. Toto pravidlo sa populárne nazýva princíp motýlích krídel, keď mávnutie motýľa v Japonsku môže spôsobiť tornádo v USA. Dynamické systémy sú napr. počasie, moria a oceány, ekosystémy, planetárne systémy ale aj sociálne systémy a mnohé iné. Na prvý pohľad sa zdá že je nemožné dlhodobo predpovedať správanie takýchto systémov, veď predsa nevieme kedy a kde nejaký motýľ mávne krídlami, ale predsa len tu je nádej. Ukazuje sa že takéto systémy sa udržujú v komplikovaných, ale zväčša periodických (stále sa opakujúcich) a uzavretých stavoch nazývaných atraktory. A keď si taký atraktor nakreslíme na počítači dostaneme čo? No predsa fraktál (keby nie, tak tento posledný odstavec by bol úplne od veci). Takže prestaňme fraktály ignorovať, ale poďme ich skúmať.

Základnou vlastnosťou frakálu je tzv. samopodobnosť. Funguje to tak, že keď časť fraktálu zväčšíme, dostaneme niečo, čo sa podobá na pôvodný obraz. Prírodné objekty majú podobnú vlastnosť. Ak ulomíme haluz zo stromu a základ haluze budeme považovať za kmeň, bude sa podobať na strom. Ak z takejto haluze ulomíme konárik a pozrieme sa naň, stále tu bude tá podobnosť. Je to preto, že strom vyrastal v dynamickom systéme. Samotná forma stromu je atraktor a strom je teda tiež fraktál. Zoberme si slnečnú sústavu. Planéty si pekne krúžia okolo slnka, ale keď sa pozrieme na jednu planétu, nájdeme mesiace, ktoré rovnako pekne krúžia okolo nej. Hmlovina z ktorej vznikala sústava bola dynamický systém, tvar sústavy je atraktor a samotná sústava je fraktál. Kto nájde najviac príkladov, vyhráva.

Teraz už vieme, že fraktály sú skutočne tie podstatné objekty, podľa ktorých sa riadi vesmír, príroda, aj zákony ľudskej spoločnosti. Naše fraktály modelované na počítačoch nám preto môžu veľa prezradiť, avšak nikdy nebudú také dokonalé ako tie ktoré namaľoval sám stvoriteľ.

Hlavné správy

TVÁR TÝŽDŃA

Nemôže piť, šoférovať ani voliť. Má len 17 rokov, no desí Peking

Joshua Wong je jedným z lídrov demokratických protestov v Hongkongu.

TECH.SME.SK

Aralské jazero takmer úplne vyschlo

Pestovanie bavlny sa nevyplatilo, zavlažovanie ho pripravilo o zdroj vody.

EKONOMIKA.SME.SK

Rubeľ klesol pod úroveň bolesti centrálnej banky

Kremeľ údajne uvažuje o kontrole kapitálu, ak sa zintenzívni jeho odlev z Ruska.


Už ste čítali?